| Аннотация |
Проект нацелен на систематическое исследование свойств и характеристик графов и градуированных графов, естественным образом возникающих в алгебре, топологии и комбинаторике: графы Кэли счетных групп и полугрупп; гордиевы графы узлов, зацеплений и тэнглов; графы Юнга и Юнга-Фибоначчи.
В рамках настоящего проекта предполагается получить продвижения в понимании глобальной и локальной структуры, статистических и асимптотических характеристик таких графов с точки зрения теории вероятностей и стохастических процессов:
нас интересуют формулы и оценки для логарифмических объемов и числа путей, описание инвариантных мер на пространствах путей, описание гармонических функционалов и границ случайных блужданий.
Первоочередное внимание в ходе реализации проекта предполагается уделить графам Юнга и Юнга-Фибоначчи, гордиевым графам и графам Дена, графам Кэли топологических групп, включая группы кос Артина, модулярные группы (группы классов отображений) многообразий, подгруппы групп автогомеоморфизмов топологических пространств малой размерности (одномерные многообразия, дендроны, дендриты), графам родственных им групп: (цветные) локально свободные группы и их подгруппы, группа Гейзенберга.
Значительная часть проекта посвящена развитию идей Анатолия Моисеевича Вершика (1933-2024) по тематике границ групп и градуированных графов, в частности, работ, выполненных в коллективе в рамках проектов 14-11-00581 "Асимптотическая теория градуированных комбинаторных структур и ее приложения"; 21-11-00152 "Инвариантные меры в динамике, теории представлений и комбинаторике".
Среди новых поднаправлений проекта упомянем планирующееся детальное изучение новых неожиданных эффектов, обнаруженных недавно участниками проекта в ходе моделирования случайных блужданий в группах автоморфизмов пространств малой размерности. Также планируется изучить и экстраполировать на объемлющие полугруппы новые недавно построенные почти инъективные отображения из графов Кэли обобщенных локально свободных полугрупп в графы узлов и зацеплений.
Продвижения в указанных направлениях важны как для топологии, комбинаторики и алгебры, так и для теории вероятностей, теории динамических систем, эргодической теории. С одной стороны, совокупность результатов и данных, полученных с применением новых подходов и методов, позволяет по-новому взглянуть на классические объекты топологии и комбинаторики и ведет к новому пониманию свойств этих объектов, новым аспектам теории и новым задачам. С другой стороны, применение имеющихся наработанных методов к нестандартным для этих методов объектам дает обратную связь и обогащает исходную теорию модификациями и совершенствованием подходов. Актуальность изучения структуры и свойств графов и групп указанных классов обуславливается важностью их положения в современной науке, огромным числом связей между этими графами и объектами, относящимися к различным областям математики.
|
