| Аннотация |
При работе с математическими объектами зачастую важно изучать не только сами объекты, но и отображения между ними, а также симметрии объектов. Так, в алгебраической геометрии важную роль занимает изучение морфизмов и автоморфизмов алгебраических многообразий. Сами многообразия часто по своей природе уже имеют набор некоторых естественных симметрий. Например, часто изучаются многообразия с заданным действием алгебраической группы. В данном проекте будут изучены группы автоморфизмов аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.
Одна из групп, действие которой часто имеется на многообразии -- это алгебраический тор. Известно, что на многообразии не может эффективно действовать тор размерности больше, чем само многообразие. Назовём разность между размерностью многообразия и размерностью эффективно действующего тора сложностью действия. (Вообще говоря, сложность определена в общем случае действия алгебраической группы и равна коразмерности типичной орбиты борелевской подгруппы, но в случае тора данное понятие совпадает с определением выше.) Многообразия с действием тора сложности ноль носят название торических многообразий. Это популярный класс многообразий. Каждому торическому многообразию сопоставляются комбинаторные данные, с помощью которых можно изучать торические многообразия, формулируя вопросы об их геометрии на языке комбинаторики. Торические многообразия, с одной стороны, часто возникают в задачах алгебраической геометрии, с другой -- они стали важным классом многообразий, на котором, используя комбинаторный язык, можно тестировать различные теории и вырабатывать интуицию для общего случая. В данном проекте планируется изучать многообразия с действием тора сложности один. Это следующий по сложности после торических многообразий случай и, по всей видимости, последний, в котором можно, хоть и не так просто, как в торическом случае, работать с многообразиями в комбинаторных терминах. Для этого будут использованы две техники. Одна из них основана на комбинаторно-алгебро-геометрическом описании всех многообразий с действием тора, полученном в основополагающей работе K. Altmann и J. Hausen (2006). В данной работе многообразию X с действием тора сопоставляется полупроективное многообразие Y размерности равной сложности действия тора и полиэдральный дивизор (линейная комбинация простых дивизоров с коэффициентами -- полиэдрами) на нём. В случае сложности 1 многообразие Y может быть либо аффинной, либо проективной прямой, и потому описание во многом снова становится комбинаторным. Другая техника основана на применении теории колец Кокса. Кольца Кокса для многообразий с действием тора сложности 1 были описаны в работе J.Hausen и M.Wrobel (2016). Спектры этих колец дают класс так называемых триномиальных многообразий, которые сами по себе тоже являются многообразиями с действием тора сложности один. В работе Аржанцева-Гайфуллина (2010) показано, что автоморфизмы аффинного многообразия тесно связаны с автоморфизмами его кольца Кокса. Таким образом, изучая автоморфизмы более узкого и конкретно заданного класса триномиальных многообразий, можно сделать выводы об автоморфизмах произвольных многообразий с действием тора сложности 1. Также планируется комбинировать данные техники при работе над проектом. Наиболее простой с точки зрения изучения автоморфизмов случай представляют собой жёсткие многообразия, то есть многообразия, не допускающих нетривиального действия аддитивной группы поля. Автоморфизмы жёстких нормальных рациональных многообразий с действием тора сложности 1 активно изучались в предыдущих работах, в том числе в прошлых работах членов нашего коллектива. Исследования будут направлены на расширение класса рассматриваемых многообразий (находясь внутри класса многообразий с действие тора сложности 1), отказываясь от нормальности или жёсткости. Также, планируется изучать полужёсткие и гибкие многообразия в рассматриваемом классе.
|
| Приоритеты научно-технического развития |
а) переход к передовым технологиям проектирования и создания высокотехнологичной продукции, основанным на применении интеллектуальных производственных решений, роботизированных и высокопроизводительных вычислительных систем, новых материалов и химических соединений, результатов обработки больших объемов данных, технологий машинного обучения и искусственного интеллекта;
|
