| Аннотация |
Цепная дробь сопоставляет каждому действительному числу конечную или бесконечную последовательность неполных частных, первый элемент которой является целым числом, а все последующие — натуральными. Известно, что все иррациональные числа и только они имеют бесконечное разложение в цепную дробь. Эйлер и Лагранж показали, что разложение числа α в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично тогда и только тогда, когда α является квадратичной иррациональностью. Интересным является достаточно простой вопрос о том, в каком случае период цепной дроби квадратичной иррациональности α является симметричным. Ответ на этот вопрос можно вывести из результатов классиков — Э. Галуа, А. М. Лежандра, М. Крайтчика, О. Перрона.
В 1828 году Галуа в своей самой первой работе (см. [1]) показал, что “склеивая” последовательности неполных частных приведенной квадратичной иррациональности α и числа −1/α', можно получить бесконечную в обе стороны периодичную последовательность. Такая последовательность имеет тривиальные симметрии, которые являются в точности сдвигами этой последовательности вдоль периодов. Вопрос симметричности периода цепной дроби квадратичной иррациональности α эквивалентен наличию дополнительных симметрий, “переворачивающих” построенную последовательность относительно некоторого элемента или позиции между элементами. Такие дополнительные симметрии мы называем палиндромическими, а соответствующий период — циклическим палиндромом.
При этом понятие обыкновенной цепной дроби и симметричности периода допускает весьма наглядную геометрическую интерпретацию при помощи конструкции, предложенную Ф. Клейном в 1895 году (см. [2]). Данная конструкция позволяет получить естественное многомерное обобщение — полиэдры Клейна. С помощью этого многомерного обобщения можно работать с алгебраическими числами более высоких степеней, которым соответствуют полиэдры Клейна с GL_n(Z)-симметриями, гарантируемыми теоремой Дирихле об алгебраических единицах. Но у таких полиэдров Клейна могут быть и дополнительные недирехлеевские GL_n (Z)-симметрии. Такие симметрии по аналогии с обыкновенными цепными дробями называются палиндромическимии.
Научная новизна и актуальность:
Ответ на вопрос о критерии палиндромичности известен для одномерных и двумерных алгебраических цепных дробей ([3]). Также известно, что цепные дроби с палиндромическими симметриями существуют в произвольной размерности. Для трехмерных цепных дробей известны лишь критерии существования палиндромических симметрий с неподвижными точками. Вопрос отыскания минимальных периодов и критериев существования палиндромических симметрий для n=3 и n > 3 на данный момент открыт и актуален.
Научной новизной данного проекта является отыскание минимальных периодов и доказательство критерия наличия у (n-1)-мерной цепной дроби палиндромической симметрии для случая n=3 и n > 3.
Известно, что если многомерная цепная дробь обладает палиндромической симметрией с неподвижной точкой, переставляющей ребра полиэдра Клейна по циклу, то такая дробь соответствует вполне вещественному циклическому расширению Галуа. Актуальным остается вопрос об истинности обратного утверждения.
Научной новизной данного проекта также является доказательство или опровержение того, что любому циклическому вполне вещественном расширению Галуа соответствует многомерная цепная дробь, обладающая циклической палиндромической симметрией с неподвижной точкой.
[1] E. Galois Démonstration d’un théorème sur les fractions continues périodiques. Annales de Mathématiques, 19 (1828), 294–301.
[2] F. Klein Uber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbruchentwichlung. Nachr. Ges.
Wiss., Gottingen, 3 (1895), 357–359.
[3] O. Н. Герман, И. А. Тлюстангелов Симметрии двумерной цепной дроби. Изв. РАН. Сер. матем., 85:4 (2021), 53–68.
|
| Приоритеты научно-технического развития |
а) переход к передовым технологиям проектирования и создания высокотехнологичной продукции, основанным на применении интеллектуальных производственных решений, роботизированных и высокопроизводительных вычислительных систем, новых материалов и химических соединений, результатов обработки больших объемов данных, технологий машинного обучения и искусственного интеллекта;
|
