| Аннотация |
Квантовая теория поля — наука, возникшая почти одновременно с появлением квантовой механики. В некотором смысле ее можно считать бесконечномерным обобщением последней. За последнее столетие разработано большое число методов вычислений в квантовой теории поля, приводящих к физически осмысленным и непротиворечивым результатам. Основным таким методом является теория возмущений и связанная с ней теория перенормировок. Тем не менее, универсальный инструмент анализа квантовой теории поля при произвольных значениях константы связи, такой как уравнение Шредингера в квантовой механике, до сих пор отсутствует.
Так как квантовую механику можно считать «одномерной» квантовой теорией поля, её ближайшие нетривиальные обобщения связаны с двумерными квантовыми теориями поля. Здесь существенный прогресс произошел в 70-е/80-е годы в связи с развитием двумерной конформной теории поля. В этом случае существует независимая аксиоматика, связанная с вертексными операторными алгебрами, представлениями алгебр Вирасоро и Каца-Муди, которые зачастую позволяют получать точные результаты. С другой стороны, известно, что наиболее близкими к четырехмерным теориям Янга-Миллса, описывающим реальный мир, являются двумерные неконформные сигма-модели. Еще один аргумент в пользу необходимости изучения подобных двумерных теорий связан с тем, что в этом классе существуют так называемые точно решаемые модели. В этом случае в литературе можно найти большое количество результатов о поведении подобных моделей в пределе сильной связи.
Предлагаемый участниками настоящего проекта подход к исследованию двумерных интегрируемых теорий существенным образом опирается на синтез идей из конформной теории поля и теории интегрируемых моделей. Данный подход опирается на построение непротиворечивой конформной теории возмущений вблизи нетривиальной УФ фиксированной точки, в которой известно точное решение.
Важную роль в этом подходе играет теория Тоды с W_3-симметрией, которая представляет собой одну из наиболее изученных моделей с расширенной конформной алгеброй. Одной из целей проекта является изучение таких теорий с симметрийной точки зрения, так и в присутствии линейных/конических дефектов.
Для нелинейных сигма-моделей их анализ методами теории возмущений в общем случае, вообще говоря, невозможен. Однако, используя свойство интегрируемости определённого класса сигма-моделей и методы конформной теории поля, можно построить так называемое дуальное описание таких сигма-моделей в терминах теорий типа Тоды с экспоненциальными скрининговыми зарядами, для которых пертурбативный подход уже работает. Одной из целей данного проекта является распространение такого дуального описания на как можно более широкий класс сигма-моделей.
Независимым образом, исходя из геометрических соображений (в частности, из связи с теорией нильпотентных орбит комплексных групп Ли), в последние годы была установлена эквивалентность между широким классом сигма-моделей и обобщенными киральными моделями Гросса-Неве, включающими в себя как фермионные, так и бозонные поля. Типичные сигма-модели из данного класса характеризуются тем, что их таргет-пространства – комплексные однородные многообразия (например, проективное пространство CP^n, грассманианы групп SU, SO, Sp, а также многообразия флагов). Замечательным свойством моделей Гросса-Неве является тот факт, что они естественным образом представляют собой деформации (квазисвободных) конформных теорий поля – бета-гамма систем со вспомогательными калибровочными полями. Таким образом, следует ожидать, что ГН-формулировка может быть в определенных случаях эквивалентна подходу, основанному на формализме скрининг-зарядов. Первостепенная цель настоящего проекта заключается в поиске и доказательстве подобной эквивалентности, что приведет к лучшему пониманию интегрируемых свойств сигма-моделей и в дальнейшем позволит построить точное решение из первых принципов.
|
