| Аннотация |
Основным инструментом в теории представлений унипотентных групп над конечными полями является метод орбит Кириллова. Он гласит, что неприводимые конечномерные комплексные представления такой группы U находятся в биекции с её коприсоединёнными орбитами на пространстве u*, двойственном к алгебре Ли u этой группы. Общая классификация орбит является дикой задачей, поэтому интерес представляет описание разных классов орбит, важных с точки зрения теории представлений. Кроме того, даже если описание какого-то класса орбит известно, явное вычисление соответствующих неприводимых характеров является отдельной трудной задачей. В проекте рассматривается максимальная унипотентная подгруппа U в простой алгебраической группе G над полем из q элементов достаточно большой характеристики. Наша цель – полностью описать все орбиты максимальной и предмаксимальной размерностей группы U и получить явные формулы для отвечающих им неприводимых характеров. Напомним, что размерность характера, отвечающего данной орбите O, равна q в степени (dim O)/2. Для типа A орбиты максимальной размерности M были классифицированы в первой работе Кириллова по методу орбит в 1962 году; все они ассоциированы с ортогональными расстановками ладей специального вида - каскадами Костанта. Характеры максимальной размерности были вычислены К. Андре лишь в 2011 году с помощью стратификации пространства u*, страты которой нумеруются произвольными расстановками ладей. Орбиты предмаксимальной размерности M – 2 классифицированы А.Н. Пановым в 2008 году; в том же году М.В. Игнатьевым были явно вычислены их характеры. Описание орбит и характеров максимальной размерности в типе C вытекает из результатов К. Андре и А. Нето 2006 года. Эти результаты тоже основаны на стратификации пространства u* с помощью расстановок ладей в соответствующих системах корней. Для типа B полная классификация орбит максимальной размерности до сих пор неизвестна; часть из них также ассоциированы с каскадами Костанта. Орбиты предмаксимальной размерности во всех классических сериях корней не описаны. Для всех исключительных систем корней, кроме E8, классификация орбит максимальной и предмаксимальной размерности и формула для характеров следуют из результатов С. Гудвина, П. Мосха и Г. Рорле 2015 года. Всё это говорит об актуальности и значимости выбранной темы. Наша цель – получить полную классификацию орбит максимальной и предмаксимальной размерностей для классических типов B, C, D и для типа E8, а также найти явную формулу для соответствующих неприводимых характеров. Для описания орбит планируется скомбинировать стратификацию Андре с элементарными алгеброгеометрическими соотношениями. Предполагается, что эти орбиты тоже будут ассоциированы с ортогональными расстановками ладей. Для вычисления характеров будет применен метод Макки, который сводит изучение характеров полупрямых произведений с абелевым нормальным сомножителем к изучению характеров подгрупп другого сомножителя. Мы представляем группу U как полупрямое произведение её «первого столбика» и «оставшейся» подгруппы, которая изоморфна максимальной унипотентной подгруппе в простой группе меньшего ранга, что позволят запустить индукцию. Такой метод позволяет передоказать формулу Андре для характера максимальной размерности в типе A. Также он был использован М.В. Игнатьевым для вычисления формулы характера предмаксимальной размерности. Более того, недавно мы, используя метод Макки, вычислили явно некоторые характеры, отвечающие орбитам размерности M – 4. Этот метод может сработать для всех систем корней при вычислении характеров нужных размерностей.
Стоит отметить также, что получение классификации указанных орбит станет продвижением в доказательстве знаменитой гипотезы Айзекса, которая гласит, что для данной группы U число орбит данной размерности является многочленом от q – 1 с целыми неотрицательными коэффициентами: новым результатом будет доказательство этой гипотезы для типов B, D, E8 для максимальной и для типов B, C, D, E8 для предмаксимальной размерностей.
|
