| Аннотация |
Проект направлен на асимптотическое исследование математических моделей, описывающих поведение температуры, электрического поля и концентрации носителей заряда в различных электропроводящих материалах. В частности, предполагается исследовать нелинейные модели переноса заряда и тепла в полупроводниках, в графене и в некоторых металлах. Это исследование представляет большую актуальность в связи с широким применением этих материалов в современной электронике, а также большим потенциалом их практического использования в различных отраслях промышленности. Полупроводниковые устройства, такие как транзисторы, диоды и солнечные
элементы, являются основой современных технологий, включая вычислительную технику, связь, энергетику и медицину. В настоящее время продолжают интенсивно исследоваться электронные и тепловые свойства графена, который может быть использован для производства фотоэлементов, рулонных экранов и сенсорных панелей, а также светодиодных ламп. Для эффективного проектирования и эксплуатации таких устройств требуется глубокое понимание физических явлений, происходящих внутри электропроводящих образцов, что невозможно без исследования соответствующих им математических моделей.
Можно выделить три основных уравнения, решение которых обеспечивает достаточно точное моделирование процессов переноса тепла и заряда, отвечающее задачам современной электроники: уравнение теплопроводности, уравнение непрерывности и закон Гаусса. В общем случае эти уравнения являются нелинейными. На практике часто оказывается, что после перехода к безразмерным величинам эти уравнения или уравнения, вытекающие из них, имеют малый параметр при старшей производной, т.е. они становятся сингулярно возмущенными (например, при достаточно большом размере образца, при интенсивном тепловом источнике и т.д.). Известно, что у таких задач существуют решения, имеющие области с большими градиентами, называемые пограничными или внутренними переходными слоями, а сами решения называют в этом случае контрастными структурами. Ввиду большой актуальности этих задач многие их классы уже исследованы как аналитически, так и численно. Однако получить точное аналитическое решение удается лишь для некоторых простейших случаев, а численный подход не позволяет получить априорной информации о положении переходного слоя и об условиях его существования, зачастую требует больших ресурсов и построения специальных сеток, а также не позволяет выявить основные факторы, влияющие на решение задачи. Преимущество в этих задачах имеет асимптотический анализ уравнений: он позволяет в ряде случаев рассмотреть более широкий класс задач, получить качественную информацию о поведении решения, выявить ключевые закономерности в задаче и дать условия, при которых решение существует и является устойчивым.
Основными задачами проекта являются построение асимптотического приближения, доказательство существования и исследование устойчивости решений вида контрастных структур в новых классах сингулярно возмущеных задач, выступающих в роли следующих нелинейных моделей переноса заряда и тепла в электропроводящих материалах:
- системы уравнений для определения концентраций электронов и дырок для различных функций скорости генерации-рекомбинации носителей,
- одномерные и двумерные модели теплопереноса, учитывающие нелинейные свойства материала,
- дрейфо-диффузионные модели, в которых функция скорости дрейфа нелинейно зависит от напряженности электрического поля.
Дифференциальные уравнения в этих моделях относятся у типу «реакция-адвекция-диффузия». В проекте предлагается исследовать еще не изученные постановки задач для этих уравнений, включающие в себя случаи нелинейной зависимости коэффициента диффузии от искомой функции и координаты, новые случаи разрывных характеристик образца, а также различные новые случаи вхождения малого параметра в коэффициенты уравнения.
|
