| Аннотация |
Проект направлен на решение задач, так или иначе связанных со
структурой прямого или косого произведения пространств или отображений. Как
в классическом курсе математического анализа, переход от одной переменной к
нескольким во-первых позволяет глубже осознать одномерные эффекты, а вовторых обнаружить принципиально новые явления, не имеющие места в меньших
размерностях. Актуальность проекта обусловлена тем, что объектом изучения
являются динамические системы, моделирующие процессы естествознания, в том
числе и хаотические. Новизна исследования состоит в том, что изучаемые модели
составлены из хорошо изученных компонент, однако в силу того, что компоненты
в общем случае перемножены косо, результирующая система являет собой
уникальный пример, не наследующий динамику компонент.
Первое направление исследования связано с изучением наследуемых свойств
косых и прямых произведений динамических систем. Основным атрибутом
динамической системы является ее цепно рекуррентное множество, состоящее из
точек, обладающих минимальной степенью возвращаемости. Далее, из этого
множества отделяются подмножества градуированные различной, более высокой,
степенью возвращаемости: неблуждающее множество, предельное множество и т.п.
Как соотносятся множество некоторой степени возвращаемости у косого
произведения динамических систем и косое произведением соответствующих
множеств компонент - вопрос, на который планируется найти ответ в рамках
проекта. Также предполагается выяснить наследственность таких свойств
динамических систем , как омега-устойчивость, структурная устойчивость,
выполнения аксиом А и В.
Косые произведения - важный класс динамических систем, используемый
при моделировании процессов с внешним управлением. При этом, системы
уравнений, появившиеся, как модели разных процессов, с математической точки
зрения могут оказаться объектами одинаковой категории. То есть качественное
поведение решений двух систем, возникших в разных областях естествознания,
может оказаться одинаковым. Именно поэтому раздел качественной теории
дифференциальных уравнений, занимающийся топологической классификацией
динамических систем является активно развивающейся математической областью.
Однако, не всегда классификацию произведения систем можно свести к
классификации сомножителей и вопрос, когда это можно сделать, является на
настоящий момент открытым. В рамках проекта предполагается выявить классы
прямых и косых произведений динамических систем, для которых топологическая
сопряженность эквивалентна покомпонентной сопряженности.
Еще одним направлением исследования является изучение специального вида
косых произведений многообразий - локально тривиальных расслоений. Решаемая в
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ ВАРИАНТ
Заявка № Страница 4 из 34
рамках проекта проблема восходит к работе Вальдхаузена, в которой исследуется
вложение несжимаемой поверхности в прямое произведение ориентируемой
поверхности на отрезок. Частным случаем такого вложения является несжимаемая
поверхность, разделяющая края прямого произведения. В рамках проекта
предполагается обобщить результаты Вальдхаузена на случай произведения
неориентируемой поверхности на отрезок.
Плодотворным направлением проекта предполагает быть направление
исследования бифуркаций негиперболических алгебраических преобразований
трехмерного тора. Предполагается построить дугу в пространстве
диффеоморфизмов, на которой все преобразования являются структурно
устойчивыми, кроме начального. Структурно устойчивые отображения играют
важную роль при моделировании многих жизненных процессов, поэтому в случае,
когда процесс является неустойчивым, важно понимать как можно на него
подействовать извне, чтобы получить структурно устойчивую систему.
|
| Приоритеты научно-технического развития |
а) переход к передовым технологиям проектирования и создания высокотехнологичной продукции, основанным на применении интеллектуальных производственных решений, роботизированных и высокопроизводительных вычислительных систем, новых материалов и химических соединений, результатов обработки больших объемов данных, технологий машинного обучения и искусственного интеллекта;
|
