| Аннотация |
Теория динамических систем – одно из самых актуальных и активно развивающихся направлений науки, которое
эффективно использует достижения всех современных разделов математики. Данный проект предлагает решение
задач на стыке теории интегрируемых систем, механики, математической физики, бифуркационного анализа,
дифференциальной геометрии и топологии.
Цель проекта – построение топологических атласов многопараметрических семейств вполне интегрируемых
гамильтоновых систем, возникающих в динамике твёрдого тела и вихревых структур. Несмотря на теоретическую и
практическую значимость, ряд таких моделей до сих пор остаётся неизученным с точки зрения их фазовой топологии.
В конце прошлого столетия, топологический анализ интегрируемых систем стал ответом на проблемы традиционного
подхода, состоявшего в указании способов сведения задач к квадратурам. Наиболее эффективными показали себя
методы глобального анализа динамических систем, привлекающие аппарат дифференциальной геометрии и топологии.
На сегодняшний день, завершено оформление теории топологической классификации интегрируемых систем с малым
числом степеней свободы в случае компактных совместных уровней первых интегралов и невырожденных
особенностей.
Наиболее актуальные вопросы данного направления можно отнести к нескольким областям: неприводимые системы с
тремя степенями свободы, системы с некомпактными инвариантными поверхностями, некритические перестройки и
вырожденные особенности. Данный проект ставит целью внести вклад во все упомянутые направления в рамках
изучения нескольких важных многопараметрических семейств:
(1) Интегрируемая модель с тремя степенями свободы на коалгебре Ли e(3,2)*, которая описывает динамику
двухполевого обобщённого гиростата при наличии двух силовых полей (случай интегрируемости Соколова–Цыганова).
Это один из наиболее общих найденных на сегодня случаев интегрируемости гиростата в двойном поле с условиями
типа Ковалевской и гироскопическими силами с непостоянным гироскопическим моментом.
(2) Интегрируемое 5-параметрическое семейство систем Ковалевской–Чаплыгина–Горячева–Яхьи. Было выявлено,
что при подходящих значениях энергии и иных параметров данная система лиувиллево эквивалентна многим
классическим интегрируемым случаям. Также известно, что при некоторых значениях параметров возникают системы
с некомпактными лиувиллевыми слоями и вырожденными особенностями.
(3) Обобщённая многопараметрическая задача трёх вихрей в идеальной жидкости и ферромагнитной среде с
закреплённым вихрем. Предварительные исследования показали богатство модели на некритические бифуркации,
некомпактные интегральные и изоэнергетические многообразия, нетипичные вырожденные особенности, а также
редкие перестройки торов Лиувилля.
(4) Будет построена и изучена обобщённая многопараметрическая система интегрируемых моделей двух вихревых
колец в различных средах, в т. ч. в идеальной жидкости, конденсате Бозе–Эйнштейна и ферромагнитной среде. В силу
симметрии, такое семейство сохраняет интегрируемость для большого числа вихрей, что заметно обогащает её
топологические и динамические свойства.
Проект фундаментально значим, поскольку способствует созданию и развитию современных подходов к анализу
динамических систем и раскрывает качественные свойства сразу нескольких ключевых моделей. Сверх того,
понимание глобальных свойств задач динамики твёрдого тела необходимо при создании целого ряда
робототехнических систем и механических приложений. В частности, гироскопические силы играют важнейшую роль
при навигации и позиционирования новейшей техники. Топологический атлас задачи с закреплённым вихрем имеет
перспективы практического применения как в геофизической гидродинамике (движение вихрей при наличии
топографической неоднородности), так и в микроэлектронике, использующей тонкие магнитные плёнки. Качественные
свойства обобщённой системы вихревых колец могут найти приложения в гидродинамике, ферромагнитных
материалах и физике ультрахолодного вещества.
|
| Ключевые слова |
Гамильтонова механика, динамические системы, интегрируемость, динамика твердого тела, вихревая динамика, слоение Лиувилля, отображение момента, бифуркационная диаграмма, топологические инварианты, представление Лакса, критические подсистемы
|
