| Аннотация |
Знаменитый алгоритм Евклида, состоящий из серии последовательных делений с остатком, решает, как для двух целых чисел найти их НОД. Максимальная длина такого алгоритма оценивается в теореме Ламе. Окончательный результат на эту тему получен руководителем проекта Кан И. Д. Аналогичные вопросы можно поставить и о других вариациях алгоритма Евклида, это --- одна из целей проекта. Интерес к алгоритму Евклида продиктован тем, что этот алгоритм используется не только для нахождения НОД, но и для обращения числа по модулю, а также для решения линейных диофантовых уравнений и проблемы Фробениуса.
Другое направление исследований по проекту связано с цепными дробями, которые также представляют собой алгоритм Евклида, записанный на другом языке. Самая знаменитая современная проблема, связанная с цепными дробями --- конечно, это проблема гипотезы Зарембы. Эта гипотеза состоит в том, что для каждого натурального числа, рассматриваемого как знаменатель некоторой дроби (континуант), найдется подходящий для него взаимно простой с ним числитель, такой что полученная дробь после разложения в цепную будет иметь лишь неполные частные, не превосходящие числа 5. Эта гипотеза интересна, как минимум, с двух точек зрения. Во-первых, при внимательном изучении результатов и методов работ Н. М. Коробова (или Зарембы, где это предположение впервые было сформулировано), относящихся к приближенному вычислению кратных интегралов с помощью оптимальных коэффициентов, эта гипотеза возникает совершенно естественно. Во-вторых, гипотезу Зарембы не могут опровергнуть даже современные суперкомпьютеры: в пределах их многомиллионного счета эта гипотеза получает свое частичное подтверждение для гигантского начального участка натурального ряда чисел. И, тем не менее, остается недоказанной!
Актуальность рассматриваемой темы. Согласно сказанному выше, предметом настоящего исследования являются конечные цепные дроби и, в особенности, их знаменатели (континуанты). Эта тема является не новой, а, наоборот, классической: интерес к ней проявляли в прошлом многие известные математики. В последние десятилетия некоторое усиление популярности этой темы вызвано, в частности, интересом к проблеме упомянутой выше гипотезы Зарембы.
Гипотеза Зарембы была доказана для почти всех натуральных знаменателей в работе Бургейна и Конторовича в 2011 году: частично --- в том смысле, что в их теореме константа ограничения неполных частных 5 была заменена на 50. В их же работе было показано, как можно перейти к нецелым константам ограничения неполных частных с помощью некоторой хаусдорфовой размерности. В работах руководителя проекта Кан И. Д. эта константа ограничения 50 была заменена величиной, меньшей, чем 4. Исследование в этом вопросе, которое планируется произвести при реализации проекта, состоит в следующем. Дальнейшее уменьшение константы ограничения возможно при условии, что неполным частным из выделенной области в середине континуанта разрешено принимать произвольные значения. Также имеется и другое направление исследования: можно фиксировать окончание континуанта и оценить константу ограничения неполных частных для этого случая.
Результаты по проблеме гипотезы Зарембы получаются с помощью известного в теории чисел кругового метода и способствуют его развитию. Так, в работе Бургейна и Конторовича наряду со знаменателями приближения рациональными числами рассматривались в качестве новых параметров отклонения этих приближений. В работах руководителя проекта Кан И. Д. появились и другие параметры, такие как величина множества, возникающего из применения обобщенной леммы Конягина, а также размеры проекций этого множества на совокупности числителей и знаменателей рациональных приближений. Научная новизна. Все сформулированные постановки задач являются новыми. Эти результаты вполне могут быть получены описанными методами при их соответствующей доработке.
|
